Probabilidad y cumpleaños

Hoy os traigo una curiosidad matemática relacionada con la probabilidad y la combinatoria. ¿Alguna vez habéis oido que la probabilidad de que dos personas cumplan años el mismo día en un conjunto de, por ejemplo, 30 personas es considerablemente más alta que la probabilidad de que ninguno coinicida?

Al leer esto cualquier persona puede pensar que es imposible que en una reunión de  30 personas haya dos que coinicidan en sus cumpleaños, pero como vamos a comprobar, hay una probabilidad bastante alta.

Primero, vamos a ordenar a las 30 personas en una fila. Vamos a ver, cuál sería la probabilidad de que ninguno coincidiese con otro. Para ello, el primero de la fila tendría 365 días (obviamos el 29 de febrero por darse sólo cada cuatro años) en los que podría cumplir años. El segundo, podría cumplir años cualquier día del año exceptuando el día en el que cumpliese el primero, por tanto el segundo tendría 364 posibilidades. Así, sucesivamente con todos, el tercero tendría 363 posibilidades, el cuarto, 364...De esta manera, llegariamos al último que tendría 336 posibilidades. 

365 x 364 x...x 336

El resultado de esta multiplicación es el número de casos favorables. Para saber, el total de casos tendriamos que ver que cualquiera puede cumplir años independientemente del día que lo cumplan los demás, con lo cual cada uno tendría 365 posibilidades para su cumpleaños. Por lo que el número de casos totales, independientemente del cumpleaños de los demás, sería 365^30. Ahora, dividiendo el número de casos favorables entre el número de casos totales obtenemos la probabilidad de que no haya dos personas que cumplan años el mismo día:

365×364×363×⋯×336365n≈0,2937,

así que la probabilidad de que 2 personas no coinicidan en su cumpleaños es del 29,37%. Ahora, con ese número podemos averiguar la probabilidad que buscabamos, es decir, 100% - 29,37% = 70,63%. Como podemos ver, es mucho más probable que dos personas coincidan, cuantas más personas haya, más probabilidad habrá de que existan dos que cumplan años el mismo día.

Y con todo este razonamiento, se demuestra algo que a primera vista parecía prácticamente imposible.

¿Se pueden hacer predicciones con las matemáticas? El caso de Nate Silver

     ¿Se pueden adivinar cosas con las matemáticas? Nate Silver, matemático orientado a la estadística, ha demostrado que sí, pues se anticipó al resultado de las recientes elecciones de los Estados Unidos de América con una exactitud asombrosa. Esto le ha llevado a obtener cierta fama en estos días. La fórmula empleada por Silver fue la siguiente:

     Primero, suma una una inmensa cantidad de encuestas sobre los candidatos y saca un promedio, pero no un promedio simple. En el momento de sumar tiene en cuenta tres variables distintas: el momento en que se publica determinada encuesta, dándole más relevancia a las que están más cerca del presente; el margen de error, priorizando las pesquisas que más gente encuestas; y la calidad, dándole más peso a las encuestas que históricamente suelen ser más precisas. Posteriormente, el matemático hace un estudio de cada uno de los estados donde se define la elección estadounidense, la cual se determina no según el número de votos sino de acuerdo el número de delegados que representa cada estado. En ese análisis local, Silver tiene en cuenta la elección de senadores, la participación histórica, la ventaja del candidato que está en el poder y los factores demográficos, que estudia por medio de una regresión lineal: por ejemplo, si el porcentaje de latinos sube en un estado, esto es relevante. Nate Silver le asigna importancia a cada una de las variables y lo vuelve todo un modelo estadístico que, como un algoritmo, solo requiere introducir la información en un software y después analizar los resultados. 

     Antes de la elecciones, Silver fue el único que no presentaba una competición reñida entre ambos candidatos y recibió duras críticas por sus predicciones. A día de hoy ha seguido suscitando polémica, pues el fenómeno de Nate Silver es criticado por no ser nada nuevo, ya que se ha utilizado en más ocasiones desde hace tiempo. No obstante, esta anécdota nos sirve para ver qué usos potenciales se les pueden dar a las matemáticas.

Ada Lovelace

El próximo 27 de noviembre se cumplen 160 años de la muerte de Augusta Ada King. ¿Pero quién es esta mujer? Esta mujer fue considerada la primera programadora de la historia.

Nació el 10 de diciembre de 1815 en Londres. Fue hija del famoso poeta Lord Byron que sirvió de inspiración para los poetas románticos. Ada vivió en una época en la que no estaba bien visto que las mujeres se dedicasen a las ciencias, pero tuvo mucha suerte en este aspecto. Sus padres se separaron al poco tiempo de que ella naciese. Su madre no quiso que se dedicase a las letras como lo habia hecho su padre, ya que lo veía una pérdida de tiempo. Dado que pertenecian a la clase alta, Ada contó con varios tutores durante su infancia y adolescencia.

En 1833, tras su presentación en la sociedad, tuvo su primer contacto con las máquinas de la mano de Charles Babbage, el creador de una máquina analítica que funcionaba con el mismo principio que los ordenadores actuales.

Ada, se interesó por el matemático inglés tras una visita a una conferencia. A partir de este momento, comenzó una relación a través de cartas que culminaria con la visita de Ada al taller del científico. En el taller, desarrolló una forma de hacer cálculos en una de las máquinas que había desarrollado Babbage. Debido a su talento, Babbage se convirtió en su tutor y trabajaron juntos. Él imaginaba una máquina capaz de interactuar con el operador y que tuviese una memoria, una unidad operativa, una perforadora de tarjetas y una impresora. Pero, en este modelo, existian dos piezas que no encajaban: la mecánica y las tarjetas perforadas, problemas que Ada supo solucionar.

En 1843, publicó una serie de documentos sobre la máquina analitica, el precedente de los ordenadores, que poseia una serie codificada de instrucciones (a lo que hoy le dariamos el nombre de programa). Describió esta máquina e incluyó demostraciones para calcular funciones trigonométricas con variables y publicó el primer programa que conseguia calcular los valores de los números de Bernoulli. Para evitar que su trabajo fuera censurado por ser mujer, lo firmó con sus iniciales y no le fue reconocido tras el paso de treinta años. También creó conceptos como un conjunto de instrucciones que hacen que otras se repitan en bucle, además creó una notación para describir los algoritmos de la máquina analitica.

Los últimos años de su vida los pasó enferma debido a un cáncer uterino y se cree que murió debido a la multitud de sangrias que le practicaron. Al final de su vida, perdió el contacto con su marido y se dedicó al juego y a las drogas. Murió con tan sólo 36 años a la misma edad que su padre, y a la misma edad a la que murió su hija.

Sus ideas fueron usadas en el siglo XX por Alan Turing y John von Neumann para el desarrollo del ordenadoor actual. En 1979, el Departamento de Defensa de los Estados Unidos creó un lenguaje de programación basado en Pascal para honrar el trabajo de Ada, actualmente es conocido como lenguaje de programación Ada.

Phi (Φ), el número más sorprendente del mundo

Nos es conocido el famoso número Pi (π), pero muy pocas personas conocen la existencia del número Phi (Φ). ¿Por qué es tan importante? Y si es tan importante ¿Por qué no lo conozco?
Más despacio artemaníaco, el número Φ, proporción áurea, razón extrema y media, proporción divina o como quieras llamarlo es un tema bastante amplio de abarcar que nos llevará más de un artículo en esta sección.

En este primero os mostraré sus características más generales a la vez que las más sorprendentes e interesantes.

Demostración.

Para empezar este número no sale de cualquier sitio, como todo en este universo, el número phi tiene una explicación sencilla:

Supongamos que tenemos una linea recta, a la que aplicamos un corte en la zona que delimitan los segmentos "a" y "b" de la imagen. Podemos entonces describir tres partes: la parte "a", la parte "b", y la parte "a + b".
Demos a "b" un valor sencillo, dígamos que b=1 por ejemplo. Entonces a la hora de establecer proporciones, tendríamos una ecuación como esta: (a+1)/a = a/1 (Pueden darse otras según las proporciones que establezcamos pero el resultado es siempre el mismo).

Bien si resolvemos la ecuación anterior, obtendremos la siguiente igualdad:  (a^2) - a - 1 = 0  que si resolvemos mediante la ecuación cuadrática para ecuaciones de segundo grado obtendremos la solución positiva de :

Que es la expresión matemática del número phi.

Propiedades de oro

 

¿Y qué tiene de especial este número? ¿De qué me sirve a mi conocerlo? Querido lector, tu cuerpo esta en armonía con este número. ¿No te lo crees? Prueba a medir la longitud de tu hombro hasta tu dedo corazón ( el más largo) y luego la medida obtenida divídela por la distancia de este mismo dedo al codo ¿ Te has quedado con el culo torcido? Lo mismo pasa con tus piernas y tu torso, estas hecho conforme a Φ. Y no solo el hombre es el único que posee estas características.

Fibonacci era un matemático italiano del siglo XII famoso por la serie que lleva su mismo nombre, la serie de Fibonacci. Esta serie esta muy relacionada no sólo con Φ, sino también con multitud de fenómenos naturales, y algunos no tan naturales.

Esta serie se genera de una forma muy sencilla, supongamos que partimos de dos números cuales quiera por ejemplo el 1 y el 2. Sumemos entonces ambos números para obtener un tercero de tal forma que obtenemos: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

¿Has probado a dividir 55/34? ¿ O 21/13? Vaya que sorpresa, de nuevo  Φ, y no solo ocurre con estos números, sino también  con otros cuales queramos ( empecemos por 5 y 4, 16 y 20, 34 y 102, lo mismo da)

Y no es lo único de especial que tiene esta serie, todas las flores poseen pétalos acorde a estos números siendo estos los mismos o múltiplos suyos, las hojas de cualquier planta crecen en este orden (filotaxis), la mayoría cristales se forman a partir de patrones relacionados con estos números ( cuasi-cristales), la población de conejos y abejas crece acorde esta sucesión, las teclas de cualquier piano y sus intervalos entre tono y semitono siguen estos números, la lista es infinita.

Además, esta peculiar serie no solo aparece en fenómenos naturales de alguna forma "predecibles", si no que también a aparece en el que probablemente sea el lugar más caótico e impredecible de todo el mundo humano: el mercado de valores.

En la imagen, se pueden apreciar una serie de rectangulos trazados a través de los máximos y mínimos del IBEX 35 ¿Adivinaís queridos lectores cúal es la proporción entre esos máximos y minimos relativos?

Si estais pensando en Φ os equivocais, es 1 - Φ o lo que es lo mismo 1 / Φ, habéis estado muy cerca.
Y como no, esta proporción aparece de la mano de la sucesión de Fibonacci, como veís también presente en los mercados de valores.

Sin embargo, a finales del siglo XIX, el psicoanalista alemán Theodor Fechner se cuestionó si la estética, podría seguir un patrón matemático relacionado con el número Φ. Su pregunta se basaba en el hecho de que dicho número ya había sido utilizado por músicos y artistas como Leonardo da Vinci ( el rostro de la famosa Mona Lisa esta construido a partir de rectángulos que contienen la proporción áurea, conocidos como rectángulos aúreos), Dalí, Le Corbusier, Bach, Mozart, Antonio Stradivari e incluso Debussy.

Es por esto que Fechner desarrolló un curioso experimento en el que una serie de sujetos escogidos al azar, debían elegir entre una serie de rectángulos, aquel que le pareciese más "atractivo" o más "placentero". Para su sorpresa ( actualmente algunos expertos piensan que los resultados pudieron ser manipulados)  el 76 % de los sujetos se decantaron por rectángulos cercanos al áureo ( con proporciones de 1.75, 1.62, y 1.50), el resto recibió menos de un 10%.

¿Increible? Pues estas son tan solo unas de las pocas características de este intrigante número presente hasta en el más recondito de los fenómenos. Utilizaré este artículo como precursor para posts posteriores sobre temas bastante relacionados con esta proporción. Revelaremos las respuestas a preguntas como ¿Es predecible el azar?, ¿Las matemáticas se descubren o se inventan? ¿Son las matemáticas algo universal?

Estad atentos pues descubriremos que estas cuestiones, albergan respuestas más sorprendentes de las que podemos llegar a imaginar.

Matemáticas: La cuarta dimensión.

Son muchos los temas a tratar en el amplio horizonte de las matemáticas, sin embargo éste es mi favorito y por lo tanto, creo que es el más adecuado para inaugurar esta sección.

¿Qué me diríais queridos lectores, si os propongo la existencia de una cuarta dimensión de la que no nos podemos percatar?

Si estuviésemos en el siglo XX, probablemente me tacharíais de embustero o quizás de loco, y como mentes curiosas que sois visitando este blog, pediríais una demostración. Bien, cómo no estamos en el XX, puedo ofreceros una explicación a esta interesante propuesta, una explicación matemática.

Vivimos en un universo gobernado por el tiempo, desde nuestro sistema hasta la más recóndita de las galaxias el tic tac de un reloj siempre nos acompaña donde quiera que vayamos. Precisamente por eso nos sentimos cómodos con él, por que podemos predecirlo, podemos medirlo.

En el terreno de la física todo el mundo acepta que el tiempo es la cuarta dimensión que rige nuestro universo y su día a día. Creemos saberlo todo de él, sabemos que es lineal y se mueve en una sola dirección ( todos imaginamos a esta dimensión como una linea recta en la que sólo podemos avanzar ), universal, infinito, y que por mucho que queramos no podemos detenerlo. Pero ¿ Es esto siempre así?

Permitidme que me sirva de un pequeño ejemplo.


Unión de dos puntos mediante una recta. Largo, la primera dimensión.

Empecemos desde lo más básico, desde la figura del punto. Todos sabemos que el punto no tiene una representación real por lo que es un ente imaginario que existe sólo en nuestra cabeza.
Ahora bien, si definimos dos puntos en un plano, y trazamos una recta delimitada por éstos ¿Que es lo que obtenemos? La primera dimensión de nuestro universo, largo.

A partir de este sencillo ejercicio podemos ir incorporando dimensiones añadiendo tan solo puntos y trazando una recta entre ellos.
La segunda dimensión nos es mas familiar, alto y largo.


La segunda dimensión, largo y alto.

Por cada nueva dimensión añadimos un nuevo grado de complejidad a nuestro pequeño experimento. Es más, podríamos compararlo con los sucesivos plieges de una hoja de papel ya que en efecto, las dimensiones que conforman nuestra realidad son de hecho plieges del propio universo.

Así si una hoja de papel la volvemos a plegar sobre sí misma, o continuamos añadiento puntos y rectas a nuestro experimento inicial obtenemos la figura geométrica más característica de la tercera dimensión del espacio: el cubo.

Como todo cuerpo tridimensional, el cubo tiene una proyección en la segunda dimesión que es la típica figura que todos hemos imprimido alguna vez para montar nuestro propio cuerpo de tres dimensiones. Esto es esencial para comprender la cuarta dimensión, por un momento, imaginemos que viajamos a un remoto lugar del espacio donde habitan unos seres que solo pueden moverse por las dos dimensiones, unos seres como el famoso comecocos. Es muy probable que puedan oirnos, escucharnos e incluso olernos, pero no nos verían ¿Por qué? Porque no pertenecemos a su dimensión.

Ahora bien, si decidiésemos introducirnos en su mundo, ellos tan solo serían conscientes de nuestra proyección bidimensional en su mundo.
Es decir, si nos cayésemos de cara solo verían como una gran mancha aparece en su mundo, y se va expandiento rapidamente hasta adoptar la forma que podría tener nuestra sombra ( un gran ejemplo de proyección bidimensional), para luego desparecer de la misma forma. Sería como si nos hubiesen hecho numerosos cortes y que, unidos, conformasen nuestro cuerpo en conjunto con todas sus dimensiones ¿Curioso no?

Entonces llevemos este ejemplo a nuestro caso. Físicamente al cuarta dimensión es el tiempo, y como cualquier dimensión, es un repliege de su anterior. ¿Qué quiere decir esto? Que al igual que un folio, el tiempo puede volver a plegarse conformando una quinta dimensión, o también arrugarse, agrietarse e incluso agujerearse.
Un ejemplo de este último caso son los agujeros negros, ya que en su fondo, o para ser más precisos en el punto donde la masa es tan grande y su densidad tan cercana al infinito (singularidad), las leyes de la física son tan sumamente absurdas, que el tiempo se detiene.

Pensadlo queridos lectores, hemos tenido la suerte de existir en una zona uniforme de nuestro universo, quién sabe si habrá lugares donde no solo se detenga, sino que circule en un sentido opuesto. Además esta peculiar característica de arrugarse, agrietarse e incluso romperse es lo que hace que teóricamente, sea posible la construcción de una máquina del tiempo, tan solo es un problema de ingeniería.

Pero no está en mis pensamientos desviarme hacia el campo de la física, sino de la matemática. ¿Alguna vez habéis pensado como sería un objeto, de una cuarta dimensión?

Sería algo parecido a lo que podéis ver en la imagen queridos lectores.
Un cuerpo sin paredes, sin límites, en constante movimiento y cambio. La unión del tiempo y la tercera dimensión, esta figura es conocida como hipercubo o teseracto, y lo que estaís viendo, es tan solo la proyección de éste en nuestro espacio tridimensional. Es difícil de ver y enteder pero es lo mismo que si plasmamos nuestro cubo en un papel tal y como hemos visto antes, solo que en este caso, el hipercubo caería con todas las caras que lo conforman al mismo tiempo. ¿Increible?

Así de esta extravagante manera se nos presenta la cuarta dimensión. Como es lógico, pueden existir seres y objetos en esta dimensión que nosotros no podemos percibir, pero que naturalmente, pueden convivir con nosotros en nuestro mismo espacio.

Según la moderna teoría de cuerdas ( es difícil hablar de matemáticas sin de alguna forma rozar la física) existen no cuatro, sino once dimensiones en nuestro universo de las cuales solo somos capaces de percibir cuatro: los ejes del espacio, y el tiempo, además éste último no lo conocemos demasiado bien.

Pensaréis que esta teoría tan aceptada puede ser de muy reciente investigación, pero la verdad, es que el matemático griego Euclides (padre de la geometría, y a su vez gran conocedor del número phi y de sus propiedades en el pentágono y el pentagrama) ya advertía posibles cuerpos fuera de nuestra visión en 3D hace más de 2000 años, inquiriendo una cuarta dimensión adicional, o sea que de moderna nada.

Así, para finalizar, cierro este post con una nueva frase de uno de los matemáticos más importantes de todo el siglo XX.


"Si la gente no piensa que las matemáticas son simples, es solo porque no se dan cuenta de lo complicada que es la vida."

John Von Neumann

No te frenes aquí, continúa buscando por tu cuenta e indagando no solo en la red, sino también en los libros y fuentes. ¡Atrévete a pensar por tí mismo!

Breve introducción a la sección de matemática.

Matemáticas, esa ciencia formal que tanta gente odia y que muy pocos comprenden ¿Para qué demonios sirve? ¿Qué gracia tiene? ¿Por qué la estudio? ¡Yo sería muy feliz sin saber su existencia!

Cierto, las matemáticas no sirven nada más que para cuando las entiendes mínimamente darte quebraderos de cabeza y para la inútil y absurda explicación de las leyes físicas que componen nuestro universo y que a su vez se rigen mediante principios y números bastante exactos que se repiten una y otra vez hasta en el más ridículo de los fenómenos.

Sin duda habreís oido hablar de pi, pero seguro que muy pocos conocen la existencia de phi, su primo.
Phi (también conocido como el número de oro, la proporción divina, o el número de Dios), fue definido por Euclides hace más de dos mil años a raiz de su papel en la construcción del pentagrama o la estrella de cinco puntas, a la que se le atribuyen propiedades mágicas. Desde entonces este número a mostrado una propensión a aparecer no solo en conchas de moluscos como el nautilus, sino tambien en cristales de algunos materiales, en flósculos de girasoles, en la forma de las galaxias, en el propio ser humano, e incluso se ha sugerido que éste número puede estar íntimamente relacionado con el comportamiento a veces caótico e impredecible de los mercados de valores.
Matemática y más matemática, un lenguaje universal capaz de explicarlo absolutamente todo, desde la escala más pequeña a la que nos remontemos, hasta la más grande de las estrellas o de las galaxias, capaz de justificar incluso la existencia de multiples universos y dimensiones que no podemos percibir, la llave del conocimiento y a su vez la cuna de la ciencia.

La música, matemática; el arte, matemática; la belleza, matemática ( en efecto, recientes estudios sugieren que el atractivo de una persona esta condicionado por la simetría de sus órganos internos); la mente humana, también matemática.

Leonardo da Vinci aplicó el número phi en su famosa
obra conocida como "El hombre de vitruvio"

Generaciones enteras de filósofos y pensadores han intentado dar una respuesta a esta intrigante cuestión: ¿Acaso son las matemáticas, los abstractos ladrillos del universo?

Una pregunta que a día de hoy carece de respuesta.


Son por estas razones y muchas otras por las te invito amigo lector, a sumergirte en el profundo e inexplorado océano de las matemáticas, un inmenso océano al que intentaremos arrojar un poco más de luz con nuestras siguientes entradas en las que tú, por supuesto también puedes participar.

Propondremos problemas matemáticos de dificil resolución para aquellos valientes que se atrevan a desafiarnos, artículos en los que veremos si la existencia de Dios puede ser corroborada matemáticamente como intentó en un pasado Lehonard Euler, uno de los matemáticos más prolíficos de nuestra historia. Además ¿Pueden ser 2+2= 5? ¿Existe el número 0? ¿Qué tiene de especial el número 5? ¿ Es posible que en una caja en la que solo existen bolas azules y blancas  en igual proporción, obtengamos una bola verde?

Todas estas preguntas tienen una respuesta matemática, atrévete a descubrilra.